Vediamo se è possibile renderla un po’ più rigorosa.
Premesso che il quadrato ha lato unitario, osserviamo che:
1.un semicerchio deve essere quanto più possibile vicino ad un lato in modo da lasciare spazio agli altri semicerchi.
2.quando un semicerchio è tangente ad un lato con la base occupa meno spazio dello stesso semicerchio tangente al lato con la semicirconferenza
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3.quando un semicerchio è tangente al lato con la semicirconferenza, il suo centro giace su una delle rette
x\,=\,r,
x\,=\,1\,-\,r,
y\,=\,r o
y\,=\,1\,-\,r
4.quando il semicerchio è tangente con la semicirconferenza a due lati (consecutivi) il suo centro giace su due di tali rette e quindi su una diagonale del quadrato
5.quando un semicerchio è tangente con la base alla semicirconferenza di un altro semicerchio, l'altezza raggiunta è minima quando il punto di tangenza è il centro del semicerchio (che giace su una delle rette)
questo perché cambiando punto di tangenza il centro del semicerchio si alza e la semicirconferenza dista sempre
r dal centro stesso.
Di conseguenza, il massimo che si può ottenere con un semicerchio tangente con la base e gli altri due con la semicirconferenza è quello in figura (con
r\,=\,\frac5{13})
Se ora vogliamo mettere tre semicerchi tangenti con la base otteniamo questo massimo
il cui raggio vale
r\,=\,\frac{\sqrt{19}\,-\,2}{6} essendo determinato dall’equazione
\displaystyle \sqrt{4r^2\,-\,\frac14}\,+\,r\,=\,1
Infine, nella mia soluzione, i due semicerchi tangenti con la base hanno la dimensione massima e il terzo semicerchio è ad essi tangente
Spero che questo sia più convincente…
